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Lineare Optimierung: Maximierung |
Beispiel: | ||||
Einer kleinen Provinzstadt ist es wieder gelungen, eine beliebte Musikgruppe für ein Konzert zu gewinnen. Die Unkosten der Veranstaltung belaufen sich auf 4200 €. Der für die Aufführung vorgesehene Saal kann maximal 900 Besucher aufnehmen. Für einen Sitzplatz will man 12 €, für einen Stehplatz 6 € verlangen. Es stehen allerdings maximal 350 Sitzplätze zur Verfügung. |
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a) In welcher Anzahl sollen die Karten aufgelegt werden, um die oben genannten Unkosten zu decken? | ||||
b) Für welche Platzzahlen ist der Gewinn maximal? | ||||
Lösung: | ||||
x ... Anzahl der Sitzplätze | ||||
y ... Anzahl der Stehplätze |
Aus dem Text können wir folgendes Ungleichungssystem und folgende Zielfunktion erstellen: x + y < 900 x < 350 x > 0 y > 0 Die letzten beiden Bedingungen (Nichtnegativitäts-Bedingung) wird stets automatisch hinzugefügt!!) Z = 12x + 6y In das Applet rechts eingegeben, ergibt sich folgendes Bild. |
Zur Beantwortung von a) braucht man nur für Z = 4200 einsetzen. Alle Punktepaare auf dieser Geraden decken die Unkosten ab. Beispielsweise der Punkt 100/500 (also 100 Sitzplätze, 500 Stehplätze), oder aber auch 200/300 usw. | ||
Zur Beantwortung von b) versuche ich die Zielfunktion so weit wie möglich hinauszuschieben, sodass gerade noch ein Punkt der Zielgeraden im Gültigkeitsbereich des Ungleichungssystems liegt. | ||
Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt zweier Geraden, hier von y = -x + 900 und x = 350. Den Schnitpunkt der beiden Geraden berechne ich mit einem beliebigen bereits bekannten Verfahren. Hier erhalte ich x=350 und y = 550. | ||
Wenn ich also 350 Sitzkarten und 550 Stehkarten verkaufe, erhalte ich den optimalen Gewinn von Z = 350*12 + 550 *6 =7500 €. | ||